2. 插值与采样总结

2.1 插值

带限信号 $f_h$ $X(f)=0,|f|>f_h/2$ $X(f)$ 为带限信号.

低通滤波器的时域和频域表达

φ (t) = sinc (\frac{t}{T}) sinc (t) = \frac{\sin (π t)}{π t}

Φ (f) = \frac{1}{f_{s}} rect (\frac{f}{f_{s}})

插值的定义 $x[n]$ $x(t)$ 的映射，满足：

x (n T) = x [n]

插值函数的要求 $x(nT)=x[n]$ $x(t)$ $\operatorname{rect}\left(\frac{t}{T/2}\right)$ 不能成为插值函数，因为不符合平滑的条件。

sinc 函数的特点：

sinc 插值的数学形式

x (t) = \sum_{n = - \infty}^{\infty} x [n] sinc (\frac{t - n T}{T})

$x(t)$ 的傅里叶变换，由线性性：

\begin{aligned} X (f) & = \sum_{n = - \infty}^{\infty} x [n] F {sinc (\frac{t - n T}{T})} \\ = \sum_{n = - \infty}^{\infty} x [n] F {φ (t - n T)} \\ = \sum_{n = - \infty}^{\infty} x [n] Φ (f) e^{- j 2 π f n T} \\ = \frac{1}{f_{s}} \sum_{n = - \infty}^{\infty} x [n] rect (\frac{f}{f_{s}}) e^{- j 2 π f n T} \\ = T rect (\frac{f}{f_{s}}) \underset{X (e^{j 2 π f / f_{s}})}{\underset{⏟}{\sum_{n = - \infty}^{\infty} x [n] e^{- j 2 π (f / f_{s}) n}}} \\ = {\begin{cases} T X (e^{j 2 π f / f_{s}}), & for | f | \leq f_{s} / 2 \\ 0, & otherwise \end{cases} \end{aligned}

sinc 插值的另外一种解释 $x[n]$ $T$ 为间隔，即构造模拟信号：

\begin{matrix} {\hat{x}}_{a} (t) = {\begin{cases} x [n] & t = n T \\ 0 & t \neq n T \end{cases} \end{matrix}

$\hat x_a(t)$ $f_s$ 的理想低通滤波器。

$\hat x_a(t)$ 做傅里叶变换：

\begin{aligned} {\hat{X}}_{a} (f) & = \int_{- \infty}^{\infty} x_{a} (t) e^{- j 2 π f t} d f \\ = \sum_{n = - \infty}^{\infty} x [n] e^{- j 2 π f / f_{s} n} \\ = X (e^{j 2 π f / f_{s}}) \end{aligned}

然后，

\begin{matrix} X (f) = {\hat{X}}_{a} (f) \cdot Φ (f) = {\begin{cases} T X (e^{j 2 π f / f_{s}}), & for | f | \leq f_{s} / 2 \\ 0, & otherwise \end{cases} \end{matrix}

模拟信号的理想采样

\begin{matrix} δ_{T} (t) = \sum_{m = - \infty}^{\infty} δ (t - m T) \\ {\hat{x}}_{a} (t) = x_{a} (t) δ_{T} (t) \end{matrix}

$T$ $f_s=1/T$ $\Omega_s=2\pi f_s$ .

$\delta_T(t)$ 是周期信号，其频谱是离散的，可以表示为：

δ_{T} (t) = \sum_{k = - \infty}^{\infty} a_{k} e^{j k Ω_{s} t}

\begin{matrix} a_{k} = \frac{1}{T} \int_{- T / 2}^{T / 2} δ_{T} (t) e^{- j k Ω_{s} t} d t = \frac{1}{T} \int_{- T / 2}^{T / 2} δ (t) d t = \frac{1}{T} \\ \Rightarrow δ_{T} (t) = \frac{1}{T} \sum_{k = - \infty}^{\infty} a_{k} e^{j k Ω_{s} t} \end{matrix}

Δ_{T} (j Ω) = \frac{2 π}{T} \sum_{k = - \infty}^{\infty} δ (Ω - k Ω_{s})

{\hat{X}}_{a} (j Ω) = \frac{1}{2 π} Δ_{T} (j Ω) * X_{a} (j Ω)

$\Omega_s$ $1/T$ .

奈奎斯特采样定理 $x_a(t)$ 为带限信号，要想抽样后的信号能够不失真地还原出原信号，则要求

f_{s} \geq 2 f_{h}

$\Omega_c \le 2 \Omega_s$ .

$f_s=2f_h$ $f_s>2f_h$ .

$x_a(t)$ 不是带限信号 $x_a(t)$ $[-f_s/2,f_s/2]$ $f_s/2$ $f_s$ 的采样。

能否可以区分采样频率和采样信号

带通采样

$B=2f_0$ ，对信号上下端分别延伸，产生保护带，满足

(k - 1) B_{0} \leq f_{l}, f_{h} \leq k B_{0}

$f_s=2B_0$ 采样。

采样等价于两步：

$\boldsymbol{[-\pi/T,\pi/T]}$ $T$ $\boldsymbol{[-\pi,\pi]}$ $\boldsymbol T$ .

插值等价为两步：

$\displaystyle \hat x_a(t)=\begin{cases} x[n]&t=nT\\ 0&t\not=nT \end{cases}$ $\pi$ $\Omega_s/2$ $\Omega_{s}$ 的延拓.
$\Omega_s/2$ $1/f_s=T_s$ .

$\boldsymbol{[-\pi,\pi]}$ $T$ $\boldsymbol{[-\pi/T,\pi/T]}$ $\boldsymbol T$ .

例题：